Józef Skwark urodził się 1 stycznia 1938 w Balicach. W 1961 roku ukończył studia na Wydziale Aktorskim Państwowej Wyższej Szkoły Filmowej, Telewizyjnej i Teatralnej w Łodzi. Później ukończył także studia reżyserskie w Krakowie.
Jeszcze jako student zadebiutował na scenie łódzkiego Teatru Powszechnego. W 1960 roku zagrał główną rolę Adama Cisowskiego w komedii sensacyjnej dla dzieci i młodzieży "Szatan z siódmej klasy" w reż. Marii Kaniewskiej. Rola ta dała mu rozgłos.
Po ukończeniu studiów w Łodzi zaczął pracę w Teatrze Polskim w Poznaniu. Jako aktor występował także na deskach Bałtyckiego Teatru Dramatycznego w Koszalinie, Teatru Dramatycznego w Szczecinie oraz w Teatrze Polskim we Wrocławiu. Występował również m.in. w Krakowie, Białymstoku, Kielcach i Toruniu. Grał też w Teatrze Narodowym w Warszawie oraz w Teatrze Telewizji.
W latach 90. pracował jako dyrektor artystyczny i reżyser w Bałtyckim Teatrze Dramatycznym w Koszalinie.
O śmierci aktora poinformował serwis e-teatr.pl.
