Co to jest wymiar i kiedy jest ułamkowy? Komentarz prof. Ryszarda Tadeusiewicza

W okresie wakacji interesują nas różne wartości liczbowe. Ilość pieniędzy, odległość od celu podróży, powierzchnia wynajętego pokoju, pojemność zakupionej butelki napoju. Odległość wyrażamy w km, powierzchnię w m2, pojemność w dcm3 (tożsamych z litrami). Oczywiście żeby móc się dziś posługiwać tymi wymiarami – trzeba było najpierw zdecydować się na przyjęcie metra jako podstawowej jednostki długości. Wcześniej używano jednostek związanych z budową ciała człowieka. Były to na przykład łokcie i stopy – ale zaraz powstało pytanie: czyje to mają być łokcie i czyje stopy? Bo przecież stopa stopie nie równa...

Potem trzeba było ustalić długość owego metra. 19 marca 1791 ustalono, że metr to będzie jedna dziesięciomilionowa najkrótszej odległości między biegunem a równikiem Ziemi. Ustalenie konkretnej wartości tej odległości wymagało wielkiej wyprawy geograficznej, ale o tym pisałem już w felietonie „Kiedy i jak ustalono długość jednego metra?”, więc zachęcam do jego odnalezienia w Internecie i przeczytania, ale nie rozwijam tutaj tego tematu.

Natomiast nie o tym chcę tu opowiedzieć. Zauważyłem bowiem, że matematycy mówią dziś także o wymiarach ułamkowych. Co mają na myśli?

Nauka zwykle porządkuje świat, powoduje, że lepiej go rozumiemy. Ale czasem postęp nauki powoduje, że pojęcia początkowo proste, łatwe i intuicyjne – stają się skomplikowane i trudne do interpretacji. Tak się stało w drugiej połowie XX wieku właśnie z pojęciem wymiaru.

W 1961 roku Lewis Richardson postanowił ustalić długość linii brzegowej Wielkiej Brytanii. Na pozór nic prostszego, przecież brzeg tej wyspy jest narysowany na każdej mapie. A jednak zmierzenie takiej krętej i pofałdowanej linii, jaką jest wybrzeże Wielkiej Brytanii nie jest sprawą łatwą. W praktyce dla określenia poszukiwanej długości trzeba rzeczywistą linię wybrzeża zastąpić linią łamaną, złożoną z prostych odcinków o ustalonej długości. Richardson zastosował odcinki o długości 200, 100 i 50 km.

Okazało się, że pomierzona długość całego wybrzeża zależy od tego, jakiej długości odcinki się zastosuje. Gdy użyto odcinków o długości 200 km długość wybrzeża ustalono jako 2350 km. Przy mierzeniu odcinkami stukilometrowymi otrzymano długość 2775 km, a przy wyborze odcinków pięćdziesięciokilometrowych wynik wynosi 3425 km. Im krótszymi odcinkami mierzymy długość linii brzegowej – tym większa jest wartość pomiaru!

Coś takiego nie zdarza się przy mierzeniu bardziej regularnych obiektów, na przykład wysokości domu, długości ulicy czy szerokości rzeki. Ale linia brzegowa jest bardzo nieregularna, ma mnóstwo zatok, półwyspów, cypelków itp. Im dokładnej ją mierzymy – tym okazuje się dłuższa. Długość takiej linii nie da się wyrazić za pomocą jednego wymiaru, ale nie jest ona także dwuwymiarowa, więc matematycy uznali, że jest to twór o wymiarze większym niż 1 i mniejszym od 2. Dokładne obliczenia pokazały, że wymiar ten dla brytyjskiego wybrzeża wynosi 5/4, czyli jest ułamkowy!

Dla Polskiego, dość regularnego wybrzeża ten ułamek jest mniejszy, a dla skomplikowanych fiordów norweskich jest większy niż 5/4 = 1,25 – ale zawsze jest ułamkowy.

Brzegi morskie nie są jedynymi obiektami, które mają ułamkowy wymiar. Na przykład płatki śniegu też mają tę właściwość i wymiar dla nich określono jako 1,771.

Ułamkowe wymiary mają powierzchnie skał, korony drzew, obłoki na niebie i wiele innych tworów przyrody. Ale łatwiej jest badać twory sztuczne, celowo tak wytworzone, by miały niecałkowity wymiar. Tworami takimi są między innymi tak zwane fraktale. Ale o fraktalach, pięknych i trochę tajemniczych wytworach mariażu zaawansowanej matematyki i komputerowej grafiki - opowiem innym razem.